Berechnungsbeispiel Holzbalkendecke

1. System, Bauteilmaße

Holzbalkendecke als Einfeldträger

Balkenabstand: e = 62,5 cm

Material: Konstruktionsvollholz KVH®, C 24

 

2. Charakteristische Einwirkungen

Ständig (Eigenlasten) gk = 1,75 kN/m²

Veränderlich (Nutzlast einschl. leichte Trennwand) qk,N = 2,80 kN/m²

Ergebnis aus Bemessungstabelle – Deckenbalken, Einfeldträger, e = 62,5 cm, C24

für: l = 4,50 m

gk = 1,75 kN/m²

qk,N = 2,80 kN/m²

Ergebnis A (ohne

Schwingungsnachweis)

KVH® C24: 8/24 cm

Ergebnis B (mit verein-

fachtem Schwingungsnachweis)

KVH® C24: 12/24 cm

alternativ: Duobalken®,Triobalken® C24: 14/22 cm

Lastfallkombinationen für Tragfähigkeitsnachweise

Nr.

Kombination

Kombinationsregel

Bemessungswert

KLED

kmod

LK 1

g

1,35 · gk

Σqd = 2,36 kN/m²

lang

0,60

LK 2

g + p

1,35 · gk + 1,5 · qk

Σqd = 6,56 kN/m²

mittel

0,80

Maßgebend ist eindeutig LK 2, die weiterverfolgt wird.

3. Festigkeits- und Steifigkeitseigenschaften C 24

Charakteristische Biegespannung 

charakteristische Schubspannung

Elastizitätsmodul

fm,k = 24,0 N/mm²

fv,k = 2,0 N/mm²

E0,mean = 11.000 N/mm²

Bemessungswerte der Beanspruchbarkeit

Modifikationsbeiwert für Vollholz

Teilsicherheitsbeiwert Holz

Bemessungswert Biegefestigkeit

Bemessungswert Schubfestigkeit

kmod = 0,80

γM = 1,3

fm,d = 0,8 · 24,0/ 1,3

fv,d = 0,8 · 2,0 / 1,3

 

 

fm,d = 14,8 N/mm²

fv,d = 1,23 N/mm²

4. Beanspruchungen - Schnittgrößen und Auflagerreaktionen

Schnittgrößen pro Balken (e = 62,5 cm)

Bemessungsmoment für LK 2:

Md = Σqd · l² / 8 = 6,56 · 4,50² / 8 · 0,625

Bemessungsquerkraft für LK 2:

Vd = Σqd · l / 2 = 6,56 · 4,50 / 2 · 0,625

 

Md = 10,38 kNm

 

Vd = 9,23 kN

Charakteristische Auflagerreaktionen für die maßgebende LK 2:

Endauflager A und B:

Ag,k = Bg,k = 1,75 · 4,50 / 2

Aq,k = Bq,k = 2,80 · 4,50 / 2

Ag,k = 3,94 kN/m

Aq,k = 6,30 kN/m

5. Vorbemessung

Erforderliches Widerstandsmoment:

Wy,req = Md / fm,d = 10,38 · 10³/ 14,8     Wy,req = 701 cm³

Ergebnis aus Bemessungstabelle Querschnittswerte:

für Md = 10,38 kNm       erf b/h = 8/24 cm

6. Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit

Bemessungswert der Biegespannung:

σ m,y,d = Md / Wy = 10,38 / 768 · 10³

σ m,y,d = 13,5 N/mm²

Nachweis:

σm,y,d = 13,5 = 0,91 < 1


ƒm,d 14,8

 

Bemessungswert der Schubspannung:

τ d = 1,5 · Vd / A = 1,5 · 9,23 / 192

τ d = 0,72 N/mm²

Nachweis:

τd = 0,72 = 0,59 < 1


ƒv,d 1,23

 

7. Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit

Nach DIN 1052, Abschnitt 9.2 sind die drei nachfolgenden Fälle zu untersuchen, die hier jeweils für nur eine veränderliche Einwirkung aufgeführt sind:

a) Beschränkung der Durchbiegung infolge veränderlicher Lasten (Anfangsdurchbiegungen ohne Kriecheinflüsse):

wQ,inst = wQ,1,inst0,2 · wQ,2,inst ≤ l/300

b) Beschränkung der Enddurchbiegung mit Kriecheinflüssen infolge sämtlicher Belastungen ohne Berücksichtigung der Anfangsdurchbiegung:

wfin – wG,inst = wG,inst (1 + kdef) + wQ,1,inst (1 +ψ2,1 · kdef) – wG,inst ≤ l/200

 

c) Durchbiegungsbeschränkung in der quasi-ständigen Bemessungssituation zur Sicherstellung der allgemeinen Benutzbarkeit und des Erscheinungsbildes:

wfin – w0 = wG,inst (1 + kdef) + wQ,1,inst ·ψ2,1 (1 + kdef) – w0 ≤ l/200

Berechnung der Durchbiegungen

E0,mean · Iy = 1.100 · 9.216 = 10,14 · 106 kNcm²

wG,fin = wG,inst (1 + kdef) = 0,58 · (1 + 0,6) = 0,928 cm

Durchbiegungsnachweise

Fall a) wQ,inst = 0,92 cm = l/489 < l/300

Fall b) wfin – wG,inst = 0,58 (1 + 0,6) + 0,92 (1 + 0,3 · 0,6) – 0,58 = 1,43 cm = l/313 < l/200

Fall c) wfin – w0 = 0,58 (1 + 0,6) + 0,92 · 0,3 (1 + 0,6) - 0 = 1,37 cm = l/329 < l/200

Vereinfachter Schwingungsnachweis

(Beschränkung der Durchbiegung infolge quasi-ständiger Einwirkung auf w = 6 mm gemäß DIN 1052, Abschnitt 9.3):

w = wG,inst2 · wQ,inst = 0,58 + 0,3 · 0,92 = 0,86 cm

w = 8,6 mm > 6 mm (Nachweis nicht eingehalten)

Möglichkeit 1:

Erhöhung des Trägheitsmoments bzw. der Balkenbreite um 8,6/6 · 100 = 43 %.

Ergebnis aus Bemessungstabelle Einfeldträger, e=62,5 cm:

für Bemessungskriterium B:       erf b/h = 12/24 cm

Möglichkeit 2:

Es wird empfohlen einen genauen Schwingungsnachweis zu führen, bei dem  wirtschaftlichere Ergebnisse zu erwarten sind. Entsprechende Nachweisverfahren sind z. B. in den „Erläuterungen zu DIN 1052:2004-08“ [1] enthalten.