Berechnungsbeispiel Holzbalkendecke

Lastfallkombinationen für Tragfähigkeitsnachweise

Maßgebend ist eindeutig LK 2, die weiterverfolgt wird.

3. Festigkeits- und Steifigkeitseigenschaften C 24

Ergebnis aus Bemessungstabelle Einfeldträger, e=62,5 cm:

für Bemessungskriterium B:       erf b/h = 12/24 cm

Bemessungswerte der Beanspruchbarkeit

4. Beanspruchungen - Schnittgrößen und Auflagerreaktionen

Schnittgrößen pro Balken (e = 62,5 cm)

Charakteristische Auflagerreaktionen für die maßgebende LK 2:

5. Vorbemessung

Erforderliches Widerstandsmoment:

W_y,req = M_d / f_m,d = 10,38 · 10³/ 14,8     W_y,req = 701 cm³

6. Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit

Bemessungswert der Biegespannung:

σ _m,y,d = M_d / W_y = 10,38 / 768 · 10³

σ _m,y,d = 13,5 N/mm²

Nachweis:

Ergebnis aus Bemessungstabelle Querschnittswerte:

für M_d = 10,38 kNm       erf b/h = 8/24 cm

Bemessungswert der Schubspannung:

τ _d = 1,5 · V_d / A = 1,5 · 9,23 / 192

τ _d = 0,72 N/mm²

Nachweis:

7. Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit

Nach DIN 1052, Abschnitt 9.2 sind die drei nachfolgenden Fälle zu untersuchen, die hier jeweils für nur eine veränderliche Einwirkung aufgeführt sind:

a) Beschränkung der Durchbiegung infolge veränderlicher Lasten (Anfangsdurchbiegungen ohne Kriecheinflüsse):

w_Q,inst = w_Q,1,inst +ψ_0,2 · w_Q,2,inst ≤ l/300

b) Beschränkung der Enddurchbiegung mit Kriecheinflüssen infolge sämtlicher Belastungen ohne Berücksichtigung der Anfangsdurchbiegung:

w_fin – w_G,inst = w_G,inst (1 + k_def) + w_Q,1,inst (1 +ψ_2,1 · k_def) – w_G,inst ≤ l/200

c) Durchbiegungsbeschränkung in der quasi-ständigen Bemessungssituation zur Sicherstellung der allgemeinen Benutzbarkeit und des Erscheinungsbildes:

w_fin – w₀ = w_G,inst (1 + k_def) + w_Q,1,inst ·ψ_2,1 (1 + k_def) – w₀ ≤ l/200

Berechnung der Durchbiegungen

E_0,mean · I_y = 1.100 · 9.216 = 10,14 · 10⁶ kNcm²

w_G,fin = w_G,inst (1 + k_def) = 0,58 · (1 + 0,6) = 0,928 cm

Durchbiegungsnachweise

Fall a) w_Q,inst = 0,92 cm = l/489 < l/300

Fall b) w_fin – w_G,inst = 0,58 (1 + 0,6) + 0,92 (1 + 0,3 · 0,6) – 0,58 = 1,43 cm = l/313 < l/200

Fall c) w_fin – w₀ = 0,58 (1 + 0,6) + 0,92 · 0,3 (1 + 0,6) - 0 = 1,37 cm = l/329 < l/200

Vereinfachter Schwingungsnachweis

(Beschränkung der Durchbiegung infolge quasi-ständiger Einwirkung auf w = 6 mm gemäß DIN 1052, Abschnitt 9.3):

w = w_G,inst +ψ₂ · w_Q,inst = 0,58 + 0,3 · 0,92 = 0,86 cm

w = 8,6 mm > 6 mm (Nachweis nicht eingehalten)

Möglichkeit 1:

Erhöhung des Trägheitsmoments bzw. der Balkenbreite um 8,6/6 · 100 = 43 %.

Möglichkeit 2:

Es wird empfohlen einen genauen Schwingungsnachweis zu führen, bei dem  wirtschaftlichere Ergebnisse zu erwarten sind. Entsprechende Nachweisverfahren sind z. B. in den „Erläuterungen zu DIN 1052:2004-08“ [1] enthalten.

A_g,k = 3,94 kN/m

A_q,k = 6,30 kN/m

A_g,k = B_g,k = 1,75 · 4,50 / 2

A_q,k = B_q,k = 2,80 · 4,50 / 2

Endauflager A und B:

M_d = 10,38 kNm

V_d = 9,23 kN

Bemessungsmoment für LK 2:

M_d = Σq_d · l² / 8 = 6,56 · 4,50² / 8 · 0,625

Bemessungsquerkraft für LK 2:

V_d = Σq_d · l / 2 = 6,56 · 4,50 / 2 · 0,625

f_m,d = 14,8 N/mm²

f_v,d = 1,23 N/mm²

k_mod = 0,80

γ_M = 1,3

f_m,d = 0,8 · 24,0/ 1,3

f_v,d = 0,8 · 2,0 / 1,3

Modifikationsbeiwert für Vollholz

Teilsicherheitsbeiwert Holz

Bemessungswert Biegefestigkeit

Bemessungswert Schubfestigkeit

f_m,k = 24,0 N/mm²

f_v,k = 2,0 N/mm²

E_0,mean = 11.000 N/mm²

Charakteristische Biegespannung 

charakteristische Schubspannung

Elastizitätsmodul

Ergebnis aus Bemessungstabelle – Deckenbalken, Einfeldträger, e = 62,5 cm, C24

Ergebnis B (mit verein-

fachtem Schwingungsnachweis)

KVH^® C24: 12/24 cm

alternativ: Duobalken^®,Triobalken^® C24: 14/22 cm

Ergebnis A (ohne

Schwingungsnachweis)

KVH^® C24: 8/24 cm

für: l = 4,50 m

g_k = 1,75 kN/m²

q_k,N = 2,80 kN/m²